The Brownian Motion: A Rigorous but Gentle Introduction for Economists (Springer Texts in Business and Economics)

By Andreas Löffler and Lutz Kruschwitz

Book Overview

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Stochastics in finance theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Precision and intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Purpose of the book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Notation and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Events and sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Measures and probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Basic problem of measurement theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 _-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Examples and interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Definition of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6 Stieltjes measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Dirac measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Null sets and the almost-everywhere property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Random variables as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Random variables as measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Distribution functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Expectation and Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Definition of expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5 Conditional expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Wiener's construction of the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1 Preliminary remark: the space of all paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Wiener measure on C0;1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3 Two definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4 Neglected properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Supplements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1 Cardinality of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2 Continuity and differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3 Convergence terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Format: Paperback
• Language: English
• ISBN: 3030201058
• ISBN13: 9783030201050
• Release Date: August 2020
• Publisher: Springer
• Length: 125 Pages
• Weight: 0.44 lbs.
• Dimensions: 0.3" x 6.1" x 9.2"